2.6 Géométrie asymptotique, analyse harmonique et compressed sensing
Enseignants : Matthieu Fradelizi, Olivier Guédon
A l’interface entre géométrie classique, théorie locale des espaces de Banach et probabilités, la géométrie asymptotique décrit les phénomènes qui se produisent dans un espace métrique mesuré de dimension n lorsque n tend vers l’infini. L’ob jectif du cours sera de présenter quelques résultats importants qui relient les phénomènes de concentration de la mesure et l’analyse harmonique. L'étude d’inégalités isopérimétriques et de leur équivalent fonctionnel sur la sphère, l’espace euclidien, l’espace gaussien et l’espace de Walsh de dimension n permet d’établir dans chacun de ces espaces des phénomènes de concentration de la mesure qui ont des conséquences dans des domaines aussi variés que la géométrie des convexes en grande dimension, la théorie des graphes et l’étude des valeurs singulières de matrices aléatoires. Les inégalités de concentration permettent d'établir des propriétés uiverselles sur les sections de corps convexes. Par ailleurs, la reconstruction de signaux de petit support au moyen d'un algorithme de minimistion l1 est intimement reliée à l'étude des sections euclidiennes de la boule l1. les problématiques de reconstruction exacte ou approchée de signaux de petits supports. Cette théorie (aussi appelée “compressed sensing”) suscite l’intérêt de nombreuses branches des mathématiques que ce soit en analyse harmonique via l’étude des principes d’incertitude ou en reconstruction effective d’images.
Le cours sera composé de deux parties. Dans la première partie, on introduira les méthodes de semi-groupes et leurs applications en géométrie convexes, gaussiennes et discrètes. Les semi-groupes d'Ornstein-Uhlenbeck et de la chaleur seront particulièrement étudiés. On démontrera les inégalités de Brunn-Minkowski et de Ehrhardt et leur forme fonctionnelle. On en déduira des inégalités isopérimétriques pour différentes mesures (Lebesgue, gaussienne, Bernoulli) puis des inégalités fonctionnelles de type Poincaré, Sobolev et log-Sobolev et enfin des inégalités de concentration de la mesure dans chacun des espaces considérés. Enfin, la preuve très récente de Ledoux d'un théorème d'E. Milman qui démontre qu'en courbure positive, l'isopérimétrie se déduit de la concentration, sera présentée.
La seconde partie du cours sera consacrée à l'étude d'inégalités classiques d'analyse harmonique et de la géométrie des corps convexes. Nous présenterons une version géométrique des inégalités de Brascamp-Lieb. Ces inégalités sont un raffinement des inégalités de Young concernant la norme L_r du produit de convolution de deux fonctions f et g dans L_p et L_q, avec 1/p + 1/q = 1/r. Dans une seconde partie, nous présenterons des résultats de géométrie des convexes en grande dimension. En effet, dans cette situation, les corps convexes ont des propriétés universelles et nous illustrerons ce phénomène par la présentation du théorème de Dvoretzky : pour tout convexe symétrique de R^n, il existe des sections par des sous-espaces vectoriels de dimension log(n) qui sont presque euclidiennes. S'il y a suffisamment d'étudiants intéressés, nous étudierons aussi la théorie développée récemment sur la reconstruction exacte ou approchée de vecteurs de petit support.